Дурацкий вопрос из программы по геометрии

[zeus]

Братцы, помогите бестолочи.
Вопрос тем, кто еще помнит школьную программу геометрии - как это посчитать быстрее всего, с минимумом математических операций?

Исходные данные.
У нас есть окружность с радиусом R, для простоты равным единице. На окружности расположена произвольная точка C. Мы знаем её азимут (α) и знаем угол β.
Также у нас есть отрезок AB. Изначально длину отрезка мы не знаем. Отрезок никогда не будет пересекать центр и всегда перпендикулярен биссектрисе угла β (т.е., является равнобедренным).

Теперь задача. Надо найти координаты точки C1, являющейся проекцией точки С на отрезок (AC1 или BC1).

Альтернативно, можно немного изменить условия - отрезок не вписан в окружность, а является касательным.

И в первом, и во втором случае через радиус и угол β можно вычислить длину отрезка AB. Но как быть дальше? Решение через расчет прилегающих треугольников (считаем треугольник ADC, затем ACC1) кажется очень громоздким.

 

[Vabos]

Имхо: X = R*Cos(alfa) Y = R*Cos(Beta/2)
UP: Кстати, второй случай сложнее, с ходу не придумал решение!

UP2: Второй случай:
Y = R; очевидно.
L = DC1;
L*Cos(90-alfa) = R, тогда L = R/Cos(90-alfa).
Откуда X = R/Cos(90-alfa)*Cos(alfa) = R/Sin(alfa)*Cos(alfa) = R*ctg(alfa)

 

[zeus]

Имхо: X = R*Cos(alfa)

Не сходится(
Видимо, я некорректно объяснил задачу или не до конца понял решение.
Координата X должна представлять собой значение, пропорциональное длине отрезка AB.
Например, для бета=90 градусов и R=1, отрезок AB будет иметь длину 2R*cos(180-бета)/2) = 2cos(45) = 1.4142
Соответственно, координата должна представлять собой значение от 0 до 1.4142 (либо -0,707....+0,707, в зависимости от начала координат)
Ну и для простоты можно считать альфу от плеча DB

 

[Лёка]

zeus, а где же начало координат? Логично в центре окружности его расположить. Нет?

Или, то, что вы ищете, правильней назвать не координатой, а отношением АС1 к АВ

 

[Beelzebub]

zeus, верно я понимаю, что отрезок АВ горизонтальный*, по условию задачи? А искомым является длина отрезка АС1?

Тогда примет за начало координат центр окружности.
Х-координата точки С1 такая же как и у точки С и равно Х(с) = cos(alfa)
Х-координата точки А равна X(A) = -sin(beta/2)
Искомое - длина отрезка AC1 есть разница между ними = cos(alfa) + sin(beta/2)

Для второго случая.
Х-координата точки А равна Х(А) = -tg(beta/2)
Х-координата точки С1 равна Х(С1) = tg(90-alfa) = ctg(alfa)
Тогда искомое - длина отрезка AC1 есть разница между ними = ctg(alfa) + tg(beta/2)


* - "горизонтальный" - это значит прямые AB и D0 - параллельны.

 

[Лёка]

 

[zeus]

Ох)) Спасибо всем, буду пробовать.

 

[Vabos]

Не сходится(
Видимо, я некорректно объяснил задачу или не до конца понял решение.
Координата X должна представлять собой значение, пропорциональное длине отрезка AB.
Например, для бета=90 градусов и R=1, отрезок AB будет иметь длину 2R*cos(180-бета)/2) = 2cos(45) = 1.4142
Соответственно, координата должна представлять собой значение от 0 до 1.4142 (либо -0,707....+0,707, в зависимости от начала координат)
Ну и для простоты можно считать альфу от плеча DB

Чой-то? Координата Х точки С1 зависит только от положения точки С на окружности и не может выходить за диапазон [-R, R]. Поэтому будет определяться только (Как Вы сказали) "азимутом". Длина АВ вообще роли не играет, ее будет определять только радиус окружности и угол beta. Что точно найти-то надо? Вы же четко поставили задачу, найтить координаты С1. Мы с Beelzebub, солидарны!
Лёка, а зачем отношение АС1/АВ? Нипанятна... Либо туплю уже

 

[Лёка]

Ох)) Спасибо всем, буду пробовать.

Усё проверено уже))

 

[Лёка]

зачем отношение АС1/АВ? Нипанятна... Либо туплю уже

Влад некорректно поставил вопрос. Ему нужно найтиположение точки С1 на отрезке АВ. Что логичнее выразить отношением длины отрезка АС1 к длине отрезка АВ.

 

[Техник]

Усё проверено уже))

Тогда жмём кнопку!

 

[zeus]

В двух словах о практической реализации. Для кого-то этом может показаться очевидным, но у меня случился ступор.

Представьте, что мы стоим в центре большой карусели с лошадками и снимаем происходящее на камеру. Камера закреплена на штативе.
Карусель движется равномерно, с постоянной угловой скоростью. Мимо нас проезжают лошадки. Мы знаем радиус карусели и угол камеры (field of view)

Далее мы смотрим получившееся видео. Измеряем движение лошадок на экране и видим, что оно неравномерно - по сравнению с наложенным на видео двухмерным линейно движущимся объектом, лошадка то обгоняет его, то тормозит.

Здесь белые прямоугольничики - крутящиеся лошадки, а зеленый прямоугольник - линейно движущийся по оси объект.

И вот возникла задача синхронизировать движение трехмерной условной лошадки с двухмерным изображением, наложенным поверх.

Ещё раз всем спасибо за помощь, в ночи попробую :beer:

 

[Beelzebub]

zeus, насколько я понял задачу:
- ты стоишь в центре, и смотришь на север;
- по кругу против часовой едет лошадка (на моем рис. она красная);
- с востока на запад едет некий предмет (на моем рис. он зеленый).


Нужно чтобы движение лошадки по кругу было синхронизировано с движением предмета.

Если лошадка едет по кругу с постоянной угловой скоростью, и ее линейная скорость V=const, то тогда предмет должен подстраиваться под лошадку и двигаться со скоростью U = V*cos(alfa), где alfa - текущий азимут зверушки.
Если предмет движется с постоянной скоростью U=const, то лошадка должна подстраиваться под предмет, и ее линейная скорость по кругу (и угловая скорость) должна быть V=U/cos(alfa).
Вроде так.

 

[Лёка]

Beelzebub, все правильно написали про угловую скорость . Я только не понимаю, почему, если камера стоит в центре круга, то белая и зеленая лошадки должны лежать на прямой, перпендикулярной АВ. В таком случае, для камеры они друг друга не закрывают. Зеленая закроет белую, если они будут лежать на прямой, проходящей через центр окружности, и через центр камеры.

 

[Beelzebub]

Я только не понимаю, почему, если камера стоит в центре круга, то белая и зеленая лошадки должны лежать на прямой, перпендикулярной АВ. В таком случае, для камеры они друг друга не закрывают. Зеленая закроет белую, если они будут лежать на прямой, проходящей через центр окружности, и через центр камеры.

Я понимаю так, что карусель подразумевается "большой" а камера "идеальной" и не дающей перспективных искажений. Потому просто рассматриваем проекции наших объектов на ось Х и все.

 

[Лёка]

Я понимаю так, что карусель подразумевается "большой" а камера "идеальной" и не дающей перспективных искажений. Потому просто рассматриваем проекции наших объектов на ось Х и все.

Интересно, а задачу можно решить, исходя из условия, что С1 и С, все-таки, лежат на прямой, проходящей через центр окружности?

 

[Лёка]

Смотрю видео еще раз, там как раз видно, что проблема в неучете "перспективных искажений". То есть, буквально, зеленая и белая лошадки лежат на прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости. Что есть неправильно.

 

[Владислав]

Господь, обьясни мне неразумному, как люди умудудряются помнить все эти формулы, которые положено забывать на второй день после экзамена даже тем, кто учился на пятёрки ? У меня есть только одно обьяснение, Господь, - они применяют их каждый день в своей работе. Блин, но где же взять такую работу, на которой каждый день нужны эти формулы !
Хотя нет ! Есть ещё один вариант - эти люди на данный момент учатся в 6 или 7 классе и вместе со своими детьми сейчас проходят эти темы ))))))
Извините за офф, не смог сдержать своего восхищения.

 

[Лёка]

Кстати, если внимательно рассмотреть схемы, которые привел Влад, то можно увидеть, что в первом случае он строит перпендикуляр к АВ из точки С, а во втором случае С и С1 как раз лежат на прямой, проходящей через центр окружности. Хотя, исходя из логики первого рисунка, должен был бы из точки С провести перпендикуляр.

 

[Beelzebub]

Интересно, а задачу можно решить, исходя из условия, что С1 и С, все-таки, лежат на прямой, проходящей через центр окружности?

Тогда в первой задаче beta=180 град, только и всего.

что проблема в неучете "перспективных искажений".

Тогда предлагаю дружно посочувствовать Зевсу в увлекательном занятии по учету этих искажений

что в первом случае он строит перпендикуляр к АВ из точки С, а во втором случае С и С1 как раз лежат на прямой, проходящей через центр окружности. Хотя, исходя из логики первого рисунка, должен был бы из точки С провести перпендикуляр.

Точно!

они применяют их каждый день в своей работе

В моем случае почти так оно и есть.